Ingenjörskalkyl – Maskinkonstruktörens formelsamling

Blad 1/13

Grunder och enheter

Allt börjar med friläggning och jämvikt. Räkna i newton, millimeter och megapascal.

Jämvikt

Frilägg alltid först. Rita alla krafter, även stödreaktioner och egentyngd.

Moment

a = hävarmen, det vinkelräta avståndet från kraftens verkningslinje till momentpunkten.

Fig. 1

Frilagd balk. Stöden är ersatta av reaktionskrafter, och momentjämvikt kring A ger R_B.

Stödreaktioner, fritt upplagd balk

Last, tvärkraft och moment

Största böjmomentet finns där tvärkraften byter tecken (T = 0).

Friktion

Glidning sker när friktionskraften når μN.

Enheter för handräkning

Räkna i N, mm och MPa så slipper du tiopotenser. Moment blir då Nmm.

Tyngdkraft

Blad 2/13

Spänning och töjning

Hur materialet svarar på last: spänning, töjning och var gränserna går.

Normalspänning

Töjning

Hookes lag

Gäller i det elastiska området.

Förlängning av stång

Stångens styvhet är k = EA/L.

Tvärkontraktion

ä

ν ≈ 0,3 för metaller.

Skjuvning och skjuvmodul

Stål: G ≈ 81 GPa.

Termisk töjning

ö

Stål som värms 50 °C med låsta ändar: σ = 210 000 · 12·10⁻⁶ · 50 ≈ 126 MPa.

Fig. 2

Konstruktionsstål har en tydlig sträckgräns R_eH. Aluminium och rostfritt saknar den, och då används R_p0,2: spänningen som ger 0,2 % kvarstående töjning.

Sträckgräns och brottgräns

Vid sträckgränsen R_eH (eller R_p0,2) börjar bestående deformation. Brottgränsen R_m är den högsta spänning materialet tål. Dimensionera normalt mot sträckgränsen.

Säkerhetsfaktor

σ_e är effektivspänningen, se bladet om fleraxliga spänningar.

Blad 3/13

Böjning och vridning

Tvärsnittets form avgör hur mycket last en balk eller axel bär och hur mycket den fjädrar.

Fig. 3

Böjspänningen är noll i neutralaxeln och störst i ytterfibrerna, med tryck på ena sidan och drag på andra.

Böjspänning

y = avstånd från neutralaxeln, e = avstånd till yttersta fibern.

Rektangulärt tvärsnitt

h är höjden i lastens riktning. Dubbla höjden ger 8 gånger styvare balk.

Massivt cirkulärt tvärsnitt

Rör

Steiners sats

Flyttar tröghetsmomentet till en parallell axel på avståndet a. Används för I-balkar och sammansatta tvärsnitt.

Varför I-balkar och rör

Material långt från neutralaxeln bidrar mest till I. Därför ger I-profiler och rör mest styvhet och hållfasthet per kilo.

Fig. 4

Vridspänningen är noll i centrum och störst vid ytan. Kärnan i en massiv axel gör lite nytta.

Vridspänning, massiv axel

Vridvinkel

φ i radianer. K_v är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor, för cirkeltvärsnitt lika med det polära tröghetsmomentet.

Vridning av rör

Tunnväggig sluten profil (Bredt)

A_m = arean innanför väggens mittlinje. Öppna profiler (U, I, slitsat rör) är mycket vekare i vridning.

Blad 4/13

Balkfall och nedböjning

Sex standardfall täcker det mesta. Kombinera dem med superposition.

Konsol, punktlast i änden

Konsol, jämnt utbredd last

Fritt upplagd, punktlast i mitten

Fritt upplagd, jämnt utbredd last

Inspänd i båda ändar, punktlast i mitten

Inspänd i båda ändar, jämnt utbredd last

M_max vid infästningarna. I mitten är M = qL²/24.

Styvhet

Superposition

Flera laster på en linjärelastisk balk: räkna varje last för sig och summera nedböjningar och moment.

Längden styr

Nedböjningen växer med L³ för punktlast och L⁴ för utbredd last. Dubbel längd ger 8 respektive 16 gånger större nedböjning.

Blad 5/13

Knäckning

Tryckta, slanka stänger går sönder genom instabilitet långt innan materialet når sträckgränsen.

Fig. 5

Eulers fyra fall. Knäcklängden L_k är avståndet mellan knäckformens inflexionspunkter.

Eulers knäcklast

Använd det minsta I:et, stången knäcker åt det vekaste hållet.

Knäcklängd

Fall 1 inspänd–fri, fall 2 ledad–ledad, fall 3 inspänd–ledad, fall 4 inspänd–inspänd.

Tröghetsradie och slankhet

Knäckspänning

Gränsslankhet

ö

Euler gäller bara för slanka stänger, λ klart över λ₁. Korta stänger plasticerar först. I stålbyggnad används knäckkurvor enligt Eurokod 3.

Starkare stål hjälper inte

Eulers formel innehåller E men inte sträckgränsen. Mot knäckning hjälper bara större I, kortare knäcklängd eller bättre inspänning.

Blad 6/13

Fleraxliga spänningar

När drag, böjning och vridning verkar samtidigt slås de ihop till en effektivspänning.

Huvudspänningar (plant)

Fig. 6

Mohrs cirkel. Mittpunkten C ligger i (σ_x + σ_y)/2. Radien R är största skjuvspänningen i planet.

von Mises, plant spänningstillstånd

von Mises, axel med böjning och vridning

Tresca

Något mer konservativ än von Mises.

Duktilt eller sprött

Duktila metaller som stål och aluminium: von Mises eller Tresca. Spröda material som gjutjärn: jämför största huvudspänningen med brottgränsen.

Tunnväggig cylinder under inre tryck

Ringspänningen σ_t är dubbelt så stor som axialspänningen, därför spricker rör på längden. Gäller när t är högst cirka D/20.

Tunnväggig sfär

Blad 7/13

Spänningskoncentration och utmattning

De flesta maskinhaverier är utmattningsbrott. Varierande last, anvisningar och ytor avgör livslängden.

Fig. 7

Kraftflödet trängs ihop kring hålet. Ett litet hål i en bred plåt under drag ger tre gånger den nominella spänningen.

Spänningskoncentration

Skarpa hörn, spår och hål ger högt K_t. Större radie sänker det.

Kälverkan vid utmattning

q = kälkänslighet. Höghållfasta stål har q nära 1.

Fig. 8

Varierande spänning beskrivs med medelspänning och amplitud.

Medelspänning, amplitud och R-värde

R = −1 är ren växlande last, R = 0 är pulserande last.

Fig. 9

Wöhlerkurva med logaritmiska axlar. Stål får en utmattningsgräns efter cirka 10⁶–10⁷ cykler, aluminium fortsätter nedåt.

Utmattningsgräns, tumregel för stål

Polerad provstav i växlande böjning, R_m upp till cirka 1400 MPa.

Reducerad utmattningsgräns

Grov yta, större dimension och anvisningar sänker hållfastheten. Faktorerna hämtas ur diagram i handböcker.

Fig. 10

Haigh-diagram. Det fyllda området är säkert mot både utmattning och flytning. Den blå linjen är den reducerade gränsen för den verkliga detaljen; säkerheten för arbetspunkten P är n = OB/OP.

Goodmanlinjen

Wöhlerlinjen i log–log

Svetsförband: k = 3. Halverad spänningsvidd ger 8 gånger längre livslängd.

Palmgren–Miner (delskadeteori)

n_i = antal cykler på nivå i, N_i = livslängden på samma nivå.

Var sprickor startar

Nästan alltid vid ytan: i hålkälar, spår, gängor, svetstår och repor. Större radier, slipning, kulblästring och rullning (tryckrestspänningar) förbättrar.

Svetsar och utmattning

En svetsad detaljs utmattningshållfasthet styrs av utformningen (FAT-klass), nästan inte alls av stålets hållfasthet. Starkare stål hjälper inte.

Blad 8/13

Maskinelement

Axlar, lager, förband och transmissioner. Välj med beräkning, inte bara ur katalog.

Axlar och effekt

Effekt vid rotation

n i varv/min, ω i rad/s.

Vridmoment ur effekt

Axeldiameter, böjning och vridning

Statisk dimensionering med von Mises, n_s = säkerhetsfaktor. Kontrollera sedan utmattning och nedböjning, de avgör ofta.

Rullningslager

Nominell livslängd

Livslängd i timmar

Ekvivalent dynamisk last

X och Y hämtas ur lagertillverkarens katalog.

Vad L₁₀ betyder

90 % av lagren når minst L₁₀. Dubblad last ger en åttondel av livslängden för kullager.

Skruvförband

Hållfasthetsklass

10.9 ger 1000/900 MPa och 12.9 ger 1200/1080 MPa.

Spänningsarea

d₂ = flankdiameter, d₃ = kärndiameter. Vanliga värden i tabellen nedan.

Gänga	M6	M8	M10	M12	M16	M20	M24
A_s (mm²)	20,1	36,6	58,0	84,3	157	245	353

Förspänning, tumregel

Åtdragningsmoment, överslag

K ≈ 0,15–0,2 beroende på smörjning. Cirka 90 % av momentet går åt till friktion, så förspänningen sprider kraftigt vid momentdragning. Noggrann beräkning enligt VDI 2230.

Fig. 11

Förbandsdiagram. Den yttre lasten F_a delas upp: skruven får ΦF_a extra, de klämda delarna avlastas med resten.

Förbandskonstant

k_b = skruvens styvhet, k_c = de klämda delarnas styvhet. Förenklat, med lastinföringsfaktor n = 1.

Skruvkraft och klämkraft

Med styva klämda delar känner skruven bara en liten del av den yttre lasten. Förbandet glipper när F_K = 0.

Friktionsförband (tvärlast)

z = antal skruvar, n_f = antal friktionsytor, S = säkerhet mot glidning.

Svetsförband

Kälsvets, a-mått

z = skänkelmått. a = höjden i den största inskrivna triangeln.

Kälsvets, förenklad kontroll

Förenklade metoden i EN 1993-1-8. Värden för f_u, β_w och γ_M2 hämtas ur standarden.

Kuggväxlar

Utväxling

Delningsdiameter och axelavstånd

m = modul.

Moment genom växeln

η = verkningsgrad, cirka 0,98 per kuggsteg för cylindriska kugghjul.

Kuggkrafter

Minsta kuggantal utan underskärning

Rem och friktion

Fig. 12

Remmen glider inte så länge kraftförhållandet håller sig under e^μα.

Eytelweins formel

α = omslutningsvinkel i radianer. Gäller även rep runt poller och bandbromsar.

Överförd effekt

Kilrem

β = kilvinkel. Kilverkan ökar friktionen ungefär tre gånger.

Fjädrar

Fjäderlagen och energi

Serie- och parallellkoppling

Skruvfjäder

d = tråddiameter, D = medeldiameter, n = antal fjädrande varv.

Axel–nav-förband

Presspassning, massiv axel, samma material

δ = diametralt grepp, d = fogdiameter, D = navets ytterdiameter.

Moment i presspassning

Passkil, yttryck (överslag)

h = kilens höjd, l = bärande längd. Yttrycket avgör oftast, inte skjuvningen.

Glidlager och tätningar

pv-värde

p räknas på projicerad yta d·b. pv begränsar friktionsvärmen; gränsvärdet står i materialets datablad.

Friktionseffekt

Värmen som lagret eller tätningen måste leda bort.

O-ringens kompression

d₂ = snittdiameter, h = spårdjup. Ungefärligt 15–30 % statiskt och 10–20 % dynamiskt. Följ tillverkarens handbok.

Blad 9/13

Dynamik och vibrationer

Rörliga delar, effekt och svängningar. Resonans förstör maskiner som är starka nog statiskt.

Newtons andra lag

Rörelseenergi

Masströghetsmoment

Sista termen är Steiners sats för masströghet.

Effekt

Centripetalkraft

Impuls

Egenfrekvens

Egenfrekvens ur statisk nedböjning

Följer av k = mg/δ. En millimeters nedböjning av egen vikt ger cirka 16 Hz.

Fig. 13

Förstoringsfaktorn mot frekvensförhållandet r = ω/ω_n. Låg dämpning ζ ger en hög topp vid r = 1.

Förstoringsfaktor

Kritiskt varvtal

Håll driftvarvtalet väl undan, gärna minst 20 %. Vibrationsisolering fungerar först när r > √2.

Plötslig och fallande last

ö

h = fallhöjd. En last som bara släpps på (h = 0) ger dubbel spänning.

Blad 10/13

Material

Materialdata du ska kunna utan att slå upp, och de egenskaper som styr valet.

Material	E (GPa)	ρ (kg/m³)	α (10⁻⁶/K)	ν
Stål	210	7850	12	0,30
Rostfritt, austenitiskt	200	7900	16	0,30
Gråjärn	≈ 100–130	7200	11	0,26
Aluminium	70	2700	23	0,33
Titan	110	4500	9	0,34
Mässing	100	8500	19	0,34
Koppar	120	8900	17	0,34
POM	≈ 3	1410	≈ 110	–
PA6 (fuktberoende)	≈ 1–3	1140	≈ 80–100	–
PTFE	≈ 0,5	2200	≈ 100–150	–

Markerade rader ska sitta. Övriga är ungefärliga riktvärden.

Material	R_eH / R_p0,2 (MPa)	R_m (MPa)
S235	235	360–510
S355	355	470–630
Rostfritt 1.4301	≈ 210–230	≈ 520–750
Aluminium 6082-T6	≈ 250–260	≈ 290–310
Skruv 8.8	640	800

Minimivärden för tunt gods. De varierar med tjocklek och leveransform, så kontrollera standard eller datablad.

Specifik styvhet

E/ρ är nästan lika för stål, aluminium och titan, cirka 25 MNm/kg. När styvheten dimensionerar vinner du vikt genom geometri, inte genom att byta metall. Samma geometri i aluminium böjer ut tre gånger mer än i stål.

Hårdhet och brottgräns för stål (ungefär)

Värmebehandling

Härdning och anlöpning (seghärdning) ger hög hållfasthet med seghet. Sätthärdning och induktionshärdning ger hård yta och seg kärna, bra för kuggar och lagerbanor. Normalisering ger jämn struktur. Avspänningsglödgning tar bort restspänningar efter svetsning.

Galvanisk korrosion

Två olika metaller i kontakt via en elektrolyt (vatten, salt): den oädlare metallen angrips. Aluminium mot rostfritt eller koppar är det klassiska fallet. Isolera eller välj metaller som ligger nära varandra i spänningsserien.

Plaster kryper

Plasters styvhet sjunker med tid, temperatur och, för PA, fukt. Dimensionera med krypmodul för långvarig last, inte med E från korttidsprov.

Blad 11/13

Toleranser, passningar och GPS

Ett mått utan tolerans går inte att tillverka eller kontrollera. Toleranserna styr både funktion och kostnad.

Fig. 14

Toleransfält för Ø25 enligt ISO 286. Hålet H7 ligger fast och axelns läge bestämmer passningen.

Passningstyper

Spel: axeln alltid mindre än hålet (H7/g6, H7/f7). Mellanpassning: kan bli spel eller grepp (H7/k6). Grepp: axeln alltid större (H7/p6, H7/s6). Hålbassystemet med H-hål är standard eftersom hål är svårare att tillverka.

Största och minsta spel

Versaler gäller hålet, gemener axeln. Negativt spel betyder grepp.

Fig. 15

Toleranskedja. Slutmåttet S = L₃ − L₁ − L₂ får hela kedjans tolerans.

Nominellt slutmått

ö

Toleranskedja, värsta fall

Toleranskedja, statistiskt (RSS)

Används vid många mått och serieproduktion. Ger snävare slutmått med en liten risk att enstaka detaljer hamnar utanför.

Bearbetning	IT-grad	R_a (µm)
Slipning	IT5–IT7	0,1–0,8
Finsvarvning, finfräsning	IT6–IT8	0,4–1,6
Svarvning, fräsning	IT8–IT11	1,6–6,3
Borrning	IT10–IT13	1,6–6,3
Sandgjutning	IT14–IT16	12,5–25

Ungefärliga riktvärden. R_a 3,2 är ett vanligt standardkrav för bearbetade ytor.

Allmäntoleranser

Mått utan egen tolerans följer allmäntoleransen i ritningshuvudet, ofta ISO 2768-mK: m = medel för längd- och vinkelmått, K för form och läge.

Geometriska toleranser (ISO 1101)

Form

Rakhet

Planhet

Rundhet

Cylindricitet

Profil

Linjeprofil

Ytprofil

Riktning

Parallellitet

Vinkelräthet

Vinkel

Läge

Koaxialitet

Symmetri

Kast

Cirkulärt kast

Totalkast

Fig. 16

Toleransram: läget på hålets axel får ligga inom en cylinder med diameter 0,1 mm, mätt från referenserna A, B och C i den ordningen.

Referenser

Referenserna låser detaljen i ordning: A primär (3 kontaktpunkter), B sekundär (2), C tertiär (1). Välj referenser som speglar hur detaljen monteras och fixeras.

Toleranser kostar

Kostnaden stiger brant när toleransen krymper. Sätt snäva toleranser bara där funktionen kräver dem, och kunna motivera varje sådan.

Blad 12/13

Hydraulik, strömning och värme

Cylindrar, flöden och värme som måste ledas bort. Räcker för de flesta produkter.

Kraft i hydraulcylinder

Ringytan gäller vid indragning, d = kolvstångens diameter.

Flöde och kontinuitet

Hydraulisk effekt

Bernoullis ekvation

Längs en strömlinje utan förluster.

Reynolds tal

Laminärt under cirka 2300, turbulent över cirka 4000. μ = dynamisk viskositet.

Tryckfall i rör (Darcy)

ä

Värmeledning

k = värmeledningsförmåga.

Konvektion

h = värmeövergångstal.

Strålning

T i kelvin. σ_SB = 5,67·10⁻⁸ W/(m²K⁴).

Termisk resistans

Seriekopplade resistanser adderas, precis som i elläran.

Allmänna gaslagen

Luft: R = 287 J/(kg·K). Används för pneumatik och tryckkärl.

Blad 13/13

Konstruktionsmetodik och säkerhet

Hur formlerna används i en produktutveckling, och vad lagen kräver av konstruktören.

Dimensioneringskedjan

Laster → friläggning → snittstorheter (N, T, M, M_v) → spänningar → effektivspänning → jämför med hållfasthet → säkerhetsfaktor. Kontrollera därefter styvhet, knäckning, utmattning och egenfrekvens.

Kravspecifikation

Skilj på krav, som måste uppfyllas och vara mätbara, och önskemål. Varje krav ska gå att verifiera.

Pugh-matris

Jämför koncept mot ett referenskoncept, kriterium för kriterium, med +, 0 och −. Ett snabbt sätt att välja och förbättra koncept.

FMEA, riskprioritetstal

S = allvarlighet, O = sannolikhet, D = upptäckbarhet, var och en 1–10. AIAG-VDA-handboken från 2019 ersätter RPN med åtgärdsprioritet (AP).

Riskbedömning enligt ISO 12100

Bestäm maskinens gränser → identifiera risker → uppskatta risk → värdera risk → reducera risk. Riskreducering i tre steg: 1) konstruera bort risken, 2) skydd och skyddsanordningar, 3) information till användaren.

Maskinförordningen

Förordning (EU) 2023/1230 ersätter maskindirektivet 2006/42/EG från den 20 januari 2027. Riskbedömning och teknisk dokumentation är grunden för CE-märkningen.

Säkerhetsfaktor

Den täcker osäkerhet i last, material, beräkningsmodell och tillverkning. Mot sträckgräns ofta 1,5–2 i maskinkonstruktion, högre vid osäkra laster, spröda material eller där fel kan skada människor. Följ standarden när en sådan finns.

Konstruera för tillverkning

Frästa innerhörn får radie, minst fräsens radie. Plåt: böjradie minst lika med plåttjockleken som utgångspunkt. Gjutning och formsprutning: jämn godstjocklek och släppningsvinkel. Använd standardkomponenter och samma hålstorlekar och radier där det går.

Rimlighetskontroll

Gör en handräkning före och efter FEM. Skiljer de sig mycket ska du förstå varför innan du litar på någon av dem.

FEM-fällor

Kontrollera randvillkoren, gör en nätkonvergensstudie och se upp för singulariteter: skarpa innerhörn och punktlaster ger spänningar som växer utan gräns när nätet förfinas.